De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Bereik

Wie wil me helpen met het volgende:

Is de reeks

sigma n=2 tot oneindig (-1)tot de macht(n+1)·(1 / (nln²n))

convergent, absoluut convergent of beide?

Bij voorbaat dank!

Antwoord

Dit is duidelijk een alternerende reeks: door de factor (-1)ⁿ⁺¹ hebben twee opeenvolgende termen telkens een verschillend teken. Voor alternerende reeksen kan je het criterium van Leibniz gebruiken: als de reeks $\sum$(-1)ⁿ·a_n is, met a_n een dalende rij die naar nul convergeert, dan is die reeks convergent.

Is de reeks absoluut convergent, maw is de reeks $\sum$1/(n·ln²(n)) convergent? Dit kan je doen met Cauchy's integraaltest, als je die gezien hebt... Die gaat als volgt: als je een reeks hebt $\sum$u_n waarbij alle u_n positief zijn, maak dan een functie f(x) die voor x=n overeenkomt met u_n en die continu en dalend is. Dus hier f(x)=1/(x·ln²(x)). Dan zullen $\sum$u_n en $\int{}$f(x)dx hetzelfde gedrag hebben (dus allebei convergent OF allebei divergent). De integraal heeft daarbij als bovengrens plus oneindig, en als ondergrens een willekeurig getal groter dan of gelijk aan 1 (kies hier bv 2 om problemen met die ln te vermijden). Je moet dus enkel nog nagaan of $\int{}$₂^$\infty$1/(x·ln²(x)) dx eindig is of niet (gebruik y=ln(x) als substitutie om de integraal op te lossen).

Groeten,
Christophe.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Functies en grafieken
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	19-5-2024